Question

如圖1，在直角梯形中，，，且．
現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
  
圖                                    圖

Answer 1

（1）利用線線平行證明線面平行；（2）利用線線垂直證明線面垂直；（3）利用等體積法求解點(diǎn)到面平面的距離

試題分析：

解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．
在△中，分別為的中點(diǎn)， 所以∥，且．
由已知∥，， 所以∥，且．           3分
所以四邊形為平行四邊形． 所以∥．                4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010802038481.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面，所以∥平面．         5分
（2）證明：在正方形中，．
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010802147549.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面平面，
所以平面．  所以．               7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．所以．    8分
所以平面．                                        10分
（3）解法一：由（2）知，平面
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010802491433.png" style="vertical-align:middle;" />平面， 所以平面平面．            11分
過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則平面
所以點(diǎn)到平面的距離等于線段的長度                12分   
在直角三角形中，
所以
所以點(diǎn)到平面的距離等于.                          14分
解法二：由（2）知，
所以
                      12分
又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為
則， 所以
所以點(diǎn)到平面的距離等于.                          14分
點(diǎn)評：立體幾何問題主要是探求和證明空間幾何體中的平行和垂直關(guān)系以及空間角、體積等計(jì)算問題．對于平行和垂直問題的證明或探求，其關(guān)鍵是把線線、線面、面面之間的關(guān)系進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化．在尋找解題思路時(shí)，不妨采用分析法，從要求證的結(jié)論逐步逆推到已知條件．