Question

在xoy平面上有一系列點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）┉P_n（x_n，y_n），對于每個自然數n，點P_n（x_n，y_n）位于函數y=x²（x≥0）圖象上，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸相切，又與⊙P_n+1外切，若x₁=1，x_n+1＜x_n（n∈N₊），則數列{x_n}的通項公式x_n=

 

．

Answer 1

分析：由題意圓P_n與P_n+1彼此外切，利用兩圓外切等價于兩圓心距等于圓的半徑，化簡出數列{x_n}的遞推關系，進而得到數列{x_n}的通項公式．

解答：解：∵以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸相切，又與⊙P_n+1外切，
∴R_n=y_n，R_n+1=y_n+1，且兩圓心間的距離就等于兩半徑，
∴(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2=(yn+yn+1)2，
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
∴

1

xn+1

-

1

xn

=2，
∵x₁=1，
∴{

1

xn

}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴

1

xn

=1+2（n-1）=2n-1，
∴x_n=

1

2n-1

．
故答案為：

1

2n-1

．

點評：本題考查了兩圓相外切的等價條件，考查了由數列的遞推關系求其通項公式，解題的關鍵是尋求相切的性質．