Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）分類討論參數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)得出該函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值；

（2）當(dāng)時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，令，求導(dǎo)確定的單調(diào)性，討論的值，確定的正負(fù)，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可得出的取值范圍.

解：（1）的定義域是，

若，則，此時(shí)在遞減，無極值；

若，則由，解得

當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，

此時(shí)在遞增，在遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，無極小值.

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在遞減，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為

令

，在單調(diào)遞增

又，時(shí)，，時(shí)，

①當(dāng)，，則函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

②當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)

設(shè)

在內(nèi)單調(diào)遞減，則

函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，.