Question

【題目】已知函數，其中，是非空數集且.設，.

（1）若，，求；

（2）是否存在實數，使得，且？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，說明理由；

（3）若且，，單調遞增，求集合，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，3；（3），，其中或，，其中或，，或，

【解析】

（1）依題意分別表示時的值域，結合的圖像和性質和二次函數的圖像和性質分別求出此分段函數兩支上的值域，即可得出結論；

（2）抓住線索，逐層深入，先判斷，得的范圍，再由已知推理縮小此范圍，最后確定的值；

（3）根據函數的單調性，可得，再證明在上存在分界點的話，這個分界點應具有怎樣的性質，最后根據此性質寫出滿足題意的集合.

（1），

，

；

（2）若則，不合題意，

從而，

，得.

若，則，

的原象且，

，矛盾.

，此時可取，滿足題意.

（3）是單調遞增函數，對任意，

，同理可得：.

若存在，使得則，

于是，記，

，同理可知，由，

得，

，

對于任意，取

中的自然數，則

綜上所述，滿足條件的必有如下表示：

，其中，

或，其中，

或，或.