Question

如圖橢圓C的方程為，A是橢圓C的短軸左頂點，過A點作斜率為-1的直線交橢圓于B點，點P（1，0），且BP∥y軸，△APB的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在直線AB上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據△APB的面積為，以及AB斜率為-1，求出A，B，P的坐標，再把A，B坐標代入橢圓C的方程，求出a，b的值即可．
（2）由（1）知橢圓C的焦點坐標，以及在直線AB的方程，因為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，找到||MF₁|-|MF₂|的范圍，求最值即可．
解答：解：（1），又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．
∵P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）
∴b=2，將B（1，-3）代入橢圓得：得a²=12，
所求橢圓方程為．
（2）設橢圓C的焦點為F₁，F₂，
則易知F₁（0，-）F₂（0，），
直線AB的方程為：x+y+2=0，因為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，設F₁（0，-）關于直線AB的對稱點為F₁'（-2，-2），則直線F₂F₁′與直線的交點為所求M，
因為F₂F₁′的方程為：，聯立得M（1，-3）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁'|-|MF₂||≤|F₂F₁'|
==2，故，
故所求雙曲線方程為：
點評：本題考查了直線與橢圓，雙曲線的位置關系，做題時要細心．