Question

如圖，點P是橢圓+=1上一動點，點H是點M在x軸上的射影，坐標平面xOy內動點M滿足：（O為坐標原點），設動點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過右焦點F的直線l交曲線C于D，E兩點，且2=，點E關于x軸的對稱點為G，求直線GD的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設動點M（x，y），P（x，y），則H（x，0），由動點M滿足：（O為坐標原點），得出坐標之間的關系，利用P（x，y）是橢圓+=1上一動點，即可求出曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1），設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2=，得坐標之間的關系，聯立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，利用韋達定理，即可求得k=，，，再分，分別求得求直線GD的方程．
解答：解：（Ⅰ）設動點M（x，y），P（x，y），則H（x，0），
由動點M滿足：（O為坐標原點），即
∴
∵P（x，y）是橢圓+=1上一動點
∴
∴
∴x²+y²=4
∴曲線C的方程為x²+y²=4
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1），設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2=，
則 
∴x₂=3-2x₁
聯立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
則 x₁+x₂=，…①x₁x₂=，…②，
x₂=3-2x₁代入①、②得，，…③，…④
由③、④得k=，…（9分）
∴，
（i）若時，，，
∴，
∴，
∴直線GD的方程是，即；
（ii）當時，同理可求直線GD的方程是…（12分）
點評：本題重點考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題時聯立方程，利用韋達定理是關鍵