Question

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試．根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評為．
現設n=4，分別以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，
則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述．
（Ⅰ）寫出X的可能值集合；
（Ⅱ）假設a₁，a₂，a₃，a₄等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有X≤2，
①試按（Ⅱ）中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．

Answer 1

分析：（1）X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇數與偶數各有兩個，a₂，a₄中的奇數個數等于a₁，a₃中的偶數個數，得到|1-a₁|+|3-a₃|與|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，得到結論．
（2）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的一共24種排列，計算每種排列下的X的值，算出概率，寫出分布列．
（3）做出三輪測試都有X≤2的概率，記做P，做出概率的值和已知量進行比較，得到結論，

解答：解：（1）X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}
∵在1、2、3、4中奇數與偶數各有兩個，
∴a₂，a₄中的奇數個數等于a₁，a₃中的偶數個數，
∴|1-a₁|+|3-a₃|與|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，
∴X=（|1-a₁|+|3-a₃|）+（|2-a₂|+|4-a₄|）必為偶數，
X的值非負，且易知其值不大于8，
∴X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}
（2）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的一共24種排列，
計算每種排列下的X的值，
在等可能的假定下，
得到P（X=0）=

1

24

P（X=2）=

3

24

P（X=4）=

7

24

P（X=6）=

9

24

P（X=8）=

4

24

（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=

4

24

=

1

6

將三輪測試都有X≤2的概率記做P，有上述結果和獨立性假設得
P=(

1

6

)3=

1

216

，
②由于P=

1

216

＜

5

1000

是一個很小的概率，
這表明僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X≤2的結果的可能性很小，
∴我們認為該品酒師確實有良好的鑒別功能，不是靠隨機猜測．

點評：本題主要考查分布列和期望的簡單應用，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．