Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=60°，設

|PF1|

|PF2|

=λ
（1）求橢圓C的離心率e和λ的函數關系式e=f（λ）
（2）若橢圓C的離心率e最小，且橢圓C上的動點M到定點N(0，

1

2

)的最遠距離為

5

，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）由

|PF1|+|PF2|=2a |PF1|=λ|PF2

?

|PF1|= 2aλ λ+1 |PF2|= 2a λ+1

，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，由此能導出e=f(λ)=

λ2-λ+1

λ+1

(λ＞0)．
（2）由e2=

λ2-λ+1

λ2+2λ+1

=1-

3λ

λ2+2λ+1

=1-

3

λ+ 1 λ +2

，知emin=

1

2

，此時c=

1

2

a，b2=a2-c2=

3

4

a2，則橢圓C的方程為C：

x2

a2

+

4y2

3a2

=1．設M（x，y），又N(0，

1

2

)，則x2=a2-•

4

3

y2|MN|2=x2+(y．-

1

2

)2=(a2-

4

3

y2)+(y2-y+

1

4

)=-

1

3

y2-y+a2+

1

4

=-

1

3

(y+

3

2

)2+a2+1，由此能求出橢圓C的方程．

解答：解：（1）由

|PF1|+|PF2|=2a |PF1|=λ|PF2

?

|PF1|= 2aλ λ+1 |PF2|= 2a λ+1

（2分）
△PF₁F₂，由余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
即(2c)2=(

2aλ

λ+1

)2+(

2a

λ+1

)2-2•

2aλ

λ+1

•

2a

λ+1

•

1

2

（4分）
上式兩邊同除以（2a）²，得e2=(

λ

λ+1

)2+(

1

λ+1

)2-

λ

(λ+1)2

=

λ2-λ+1

(λ+1)2

（5分）∴e=f(λ)=

λ2-λ+1

λ+1

(λ＞0)（6分）
（2）由（1）知，e2=

λ2-λ+1

λ2+2λ+1

=1-

3λ

λ2+2λ+1

=1-

3

λ+ 1 λ +2

∵λ＞0，λ+

1

λ

≥2，∴e2≥1-

3

2+2

=

1

4

∴e≥

1

2

，等號當且僅當λ=1時成立，故emin=

1

2

（8分）
此時c=

1

2

a，b2=a2-c2=

3

4

a2，則橢圓C的方程為C：

x2

a2

+

4y2

3a2

=1
設M（x，y），又N(0，

1

2

)，則x2=a2-•

4

3

y2|MN|2=x2+(y．-

1

2

)2=(a2-

4

3

y2)+(y2-y+

1

4

)=-

1

3

y2-y+a2+

1

4

=-

1

3

(y+

3

2

)2+a2+1，
其中y∈[-b，b]．（l0分）
①當-b≤-

3

2

即b≥

3

2

時，則當y=-

3

2

時，|MN

|

2 min

=a2+1=(•

5

)2，得a=2，
則b²=3，b=

3

＞

3

2

，滿足條件．（12分）
②當-

3

2

＜-b＜0即0＜b＜

3

2•

時，則當y=-b時，|MN|min=b+

1

2

=

5

，得b=

5

-

1

2

＞

3

2

不滿足條件，舍去．綜上所述，a=2，b=

3

，所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（14分）

點評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時要注意余弦定理的合理運用和分類討論思想的靈活運用．