Question

函數lnx≤xem2-m-1對任意的正實數x恒成立，則m的取值范圍是（　　）

A．（-∞，0]∪[1，+∞）

B．[0，1]

C．[e，2e]

D．（-∞，e）∪[2e，+∞）

Answer 1

lnx≤xem2-m-1可化為

lnx

x

≤em2-m-1，
則問題等價于(

lnx

x

)max≤em2-m-1，
令f（x）=

lnx

x

，（x＞0），則f'（x）=

1-lnx

x2

，
當0＜x＜e時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞e時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
故x=e時，f（x）取得極大值，也為最大值，f（e）=

1

e

，
∴

1

e

≤em2-m-1，則-1≤m²-m-1，解得m≤0或m≥1，
∴實數m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞），
故選：A．