Question

如圖為f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，?＞0，?∈（-π，0））的圖象的一段，
（Ⅰ）求其解析式．
（Ⅱ）將f（x）圖象上所有的點縱坐標不變，橫坐標放大到原來的2倍，然后再將新的圖象向左平移

π

2

個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點坐標可得A，由函數(shù)的周期求得ω，再由函數(shù)的圖象過定點并結合?的范圍，求得?的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再由x∈[0，

π

2

]利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)的圖象可得A=

3

，

1

2

2π

ω

=

5π

6

-

π

3

，解得ω=2．
故f（x）=

3

sin（2x+?），再由函數(shù)的圖象過點（

π

3

，0），可得

3

sin（

2π

3

+? ），?∈（-π，0）），
∴?=-

2π

3

，∴f（x）=

3

sin（2x-

2π

3

）．
（Ⅱ）將y=f（x）圖象上所有的點縱坐標不變，橫坐標放大到原來的2倍，得到y=

3

sin(x-

2

3

π)，
再將新的圖象向左平移

π

2

個單位得到y=

3

sin(x-

π

6

)，所以g(x)=

3

sin(x-

π

6

)．
因為x∈[0，

π

2

]，所以x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，所以，sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，

3

2

]，
所以函數(shù)y=g（x）的值域為[-

3

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．