Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A(0，

2

)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F₁、F₂為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程；
（3）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經過M（-2，0）及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，根據題意可得k=±1，所以雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，C的一個焦點與A關于直線y=x對稱，可得雙曲線的焦點坐標進而求出雙曲線的標準方程．
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，
使|QT|=|QF₁|，根據雙曲線的定義|TF₂|=2，再利用相關點代入法求出軌跡方程即可．
（3）直線與雙曲線聯立，進而可構造f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，從而直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根，根據AB的中點，可得直線L的方程，從而可求b的取值范圍．

解答：解：（1）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx-y=0．
∵該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，
∵雙曲線C的一個焦點為(

2

，0)，
∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；
若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|．
根據雙曲線的定義，|TF₂|=2，
所以點T在以F₂(

2

，0)為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)．     ①
由于點N是線段F₁T的中點，設N（x，y），T（x_T，y_T），
則

x= xT- 2 2 y= yT 2

即

xT=2x+ 2 yT=2y.

代入①并整理，得點N的軌跡方程為 x2+y2=1(x≠

2

2

)．
（3）由

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，
直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根，
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0.

解得1＜m＜

2

．
又AB的中點為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直線L的方程為y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．
令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，
∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)．
∴故b的取值范圍是(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的有關性質與定義，以及求軌跡方程的方法（如相關點代入法），考查直線與雙曲線的位置關系．