Question

△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，求證：

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

．

Answer 1

分析：△ABC的三個內角A，B，C成等差數列⇒B=60°，利用余弦定理可知b²=a²+c²-ac，利用分析法證明，要使原結論成立，只需證

c

a+b

+

a

b+c

=1，左端通分整理后將b²=a²+c²-ac，代入，再整理即可．

解答：證明：要證原式，只要證

a+b+c

a+b

+

a+b+c

b+c

=3，即

c

a+b

+

a

b+c

=1，
即只要證

bc+c2+a2+ab

ab+b2+ac+bc

=1，
而A+C=2B，B=60°，
∴b²=a²+c²-ac，
∴

bc+c2+a2+ab

ab+b2+ac+bc

=

bc+c2+a2+ab

ab+a2+c2-ac+ac+bc

=

bc+c2+a2+ab

ab+a2+c2+bc

=1成立．
故原結論成立．

點評：本題考查分析法，著重考查推理證明，考查余弦定理與整體代換，屬于中檔題．