Question

【題目】某年級位同學參加語文和數學兩門課的考試，每門課的考分從0到100分. 假如考試的結果沒有兩位同學的成績是完全相同的（即至少有一門課的成績不同）. 另外，“甲比乙好”是指同學甲的語文和數學的考分均分別高于同學乙的語文和數學的考分. 試問：當最小為何值時，必存在三位同學（設為甲、乙、丙），有甲比乙好，乙比丙好.

Answer 1

【答案】401

【解析】

建立平面直角坐標系.

若一位同學的成績語文為分，數學為分，令其對應平面上的整點，稱為“成績點”.

于是，位同學的考試結果映射到平面上是在，范圍內的個成績點.

考慮平面上201條直線：.

若一條直線上有三個成績點，即表示存在三位同學甲、乙、丙，有甲比乙好，乙比丙好.

顯然，直線和每條至多只能有一個成績點；直線和每條至多只能有兩個成績點.

因為，所以，當時，必有一條直線有三個成績點.

從而，的最小值.

令集合；.

顯然，，且在中不存在三個成績點在同一條直線上.

故.從而，.