Question

某人居住在城鎮的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車事件的概率如圖．（例如：A→C→D算作兩個路段：路段AC發生堵車事件的概率為，路段CD發生堵車事件的概率為）
（1）請你為其選擇一條由A到B的最短路線（即此人只選擇從西向東和從南向北的路線），使得途中發生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數為隨機變量ξ，求ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，利用相互獨立事件的概率公式做出各個路段堵車的概率，得到選擇路線A→C→F→B，可使得途中發生堵車事件的概率最小．
（2）由題意知路線A→C→F→B中遇到堵車次數ξ可取值為0，1，2，3，結合變量對應的事件和相互獨立事件的概率公式，寫出變量對應的概率，做出期望值．
解答：解：（1）記路段MN發生堵車事件為MN．
∵各路段發生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，
∴路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P₁為
1-P（）=1-P（）•P（）•P（）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-；（3分）
同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率P₂為1-P（）=（小于）
路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P₃為1-P（）=（大于）  
顯然要使得由A到B的路線途中發生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．
因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發生堵車事件的概率最小
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車次數ξ可取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（）=
P（ξ=1）=P（AC•）+P（•CF•）+P（）
=
P（ξ=2）=P（AC•CF•）+P（AC••FB）+P（•CF•FB）
=
P（ξ=3）=P（AC•CF•FB）=，
∴Eξ=0×+1×
答：路線A→C→F→B中遇到堵車次數的數學期望為．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望和相互獨立事件的概率，本題是一個易錯題，易錯點在題目中出現的道路情況比較多，需要仔細寫出不要出錯．