Question

已知拋物線C：x²=2py過點P(1，

1

2

)，直線l交C于A，B兩點，過點P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定點Q，當直線l過點Q時，△PAM與△PBN的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵P(1，

1

2

)在拋物線C上，∴1=2p•

1

2

，得p=1．…（3分）
（2）假設存在定點Q，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為y=kx+b．
聯立

y=kx+b x2=2y

得x²-2kx-2b=0，
當△=4k²+8b＞0時，有x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b．…（6分）
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2b-2k+1（*）
由題意知，N（1，0），M（1，k+b），
因為△PAM與△PBN的面積相等，所以

1

2

|PN|•|1-x2|=

1

2

|PM|•|1-x1|，
即|1-x2|=2|k+b-

1

2

|•|x1-1|，
也即|1-x₂|=|2k+2b-1|•|x₁-1|…（10分）
根據（*）式，得（x₁-1）²=1，解得x₁=0或x₁=2．
所求的定點Q即為點A，
即l過Q（0，0）或Q（2，2）時，滿足條件．…（14分）