Question

15、若函數f（x，y，z）滿足f（a，b，c）=f（b，c，a）=f（c，a，b），則稱函數f（x，y，z）為輪換對稱函數，如f（a，b，c）=abc是輪換對稱函數，下面命題正確的是

①②③④

．
①函數f（x，y，z）=x²-y²+z不是輪換對稱函數．
②函數f（x，y，z）=x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）是輪換對稱函數．
③若函數f（x，y，z）和函數g（x，y，z）都是輪換對稱函數，則函數f（x，y，z）-g（x，y，z）也是輪換對稱函數．
④若A、B、C是△ABC的三個內角，則f（A，B，C）=2+cosC•cos（A-B）-cos²C為輪換對稱函數．

Answer 1

分析：首先理解輪換對稱函數的定義，然后根據函數f（x，y，z）是否滿足f（a，b，c）=f（b，c，a）=f（c，a，b），對于①代入運算可知f（x，y，z）≠f（y，z，x）故不是輪換對稱函數，對于②f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），滿足條件，是輪換對稱函數，對于③f（x，y，z）-g（x，y，z）=f（y，z，x）-g（y，z，x）=f（z，x，y）-g（z，x，y），也滿足定義，是輪換對稱函數，對于④進行化簡整理可知f（A，B，C）=f（B，C，A）=f（C，A，B），滿足定義，故為輪換對稱函數，從而得到正確的命題．

解答：解：①函數f（x，y，z）=x²-y²+z，則f（y，z，x）=y²-z²+x，f（x，y，z）≠f（y，z，x）故不是輪換對稱函數，故正確；
②函數f（x，y，z）=x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y），f（y，z，x）=y²（z-x）+z²（x-y）+x²（y-z），滿足f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），是輪換對稱函數．故正確；
③若函數f（x，y，z）和函數g（x，y，z）都是輪換對稱函數，則f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），g（x，y，z）=g（y，z，x）=g（z，x，y），從而函數f（x，y，z）-g（x，y，z）=f（y，z，x）-g（y，z，x）=f（z，x，y）-g（z，x，y），滿足定義，故也是輪換對稱函數．故正確；
④若A、B、C是△ABC的三個內角，則f（A，B，C）=2+cosC•cos（A-B）-cos²C，f（B，C，A）=2+cosB•cos（B-C）-cos²A，f（C，A，B）=2+cosB•cos（C-A）-cos²B，f（A，B，C）=f（B，C，A）=f（C，A，B）為輪換對稱函數，故正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查對新概念的閱讀理解能力，以及三角函數化簡與運算能力，分析問題的能力，屬于創新題．