Question

已知A={x|x²-mx-2x+2m≤0，m≥0}，f（x）=ax²+3x-b（a，b為正整數），設f（x）=x的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=3
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=

f(x)

1+x

，若g（x）在A中恒有g（x）＞m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=x的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=3，可得a（9a-4b）=4，，從而可求函數的解析式；
（2）g（x）在（-1，+∞）上是增函數，分類討論化簡集合A，利用g（x）在A中恒有g（x）＞m，可求m的取值范圍．

解答：解：（1）由已知可得：a（9a-4b）=4，進而可得：a=2，b=4．
∴f（x）=2x²+3x-4；
（2）

g(x)=2(1+x)- 5 1+x -1在(-1，+∞)上是增函數，A={x|(x-2)(x-m)≤0，m≥0}

1）．當m≥2時，A=[2，m]，g（x）在[2，m]上是增函數，只須g（2）＞m即可，
解得2≤m＜

10

3

2）．當0≤m＜2時，A=[m，2]，只須g（m）＞m即可，解得

5

-1＜m＜2
綜上，

5

-1＜m＜

10

3

點評：本題以集合、函數為載體，考查函數的解析式，考查恒成立問題，注意恒成立問題的處理策略．