Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足a_n²，S_n，n成等差數列，a_n＞0（n∈N^*）．
（1）寫出a_n與a_n-1（n≥2）的關系并求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通項公式，并用數學歸納法加以證明；
（3）設x＞0，y＞0，且x+y=2，求（a_nx+2）²+（a_ny+2）²的最小值（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得由2Sn=

a

2 n

+n①當n≥2時，2Sn-1=

a

2 n-1

+(n-1)②，兩式相減得數列的遞推關系式，分別令n=1，2，3，即可求出a₁，a₂，a₃值．
（2）猜想an=n，檢驗n=2時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．
（3）由于x＞0，y＞0，且x+y=2，a_n=n，利用基本不等式即可求出(anx+2)2+(any+2)2的最小值．

解答：解：（1）由2Sn=

a

2 n

+n①
可知，當n≥2時，2Sn-1=

a

2 n-1

+(n-1)②
①-②，得2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+1，即

a

2 n

=2an+

a

2 n-1

-1．（2分）
∵a_n＞0分別令n=1，2，3，得a₁=1，a₂=2，a₃=3．（4分）
（2）猜想：a_n=n，
1）當n=2時，結論顯然成立．
2）假設當n=k（k≥2）時，a_k=k．
那么當n=k+1時，

a

2 k+1

=2ak+1+

a

2 k

-1=2ak+1+k²-1⇒[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，
∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
這就是說，當n=k+1時也成立，∴a_n=n（n≥2）．顯然n=1時，也適合．
故對于n∈N^*，均有a_n=n（9分）
（3）∵x＞0，y＞0，且x+y=2，a_n=n，
∴(anx+2)2+(any+2)2=(nx+2)2+(ny+2)2≥

(nx+2+ny+2)2

2

=2(n+2)2，
∴(anx+2)2+(any+2)2的最小值為2（n+2）²．（13分）

點評：本小題主要考查數學歸納法的應用、基本不等式的應用、數列等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．