Question

設a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

在R上滿足f（x）=f（-x）．
（1）求a的值；   
（2）討論f（x）在[0，+∞）上的單調性．
（3）已知f（x）＞lnm+1在[0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=f（-x），列出恒等式對一切x∈R成立，即可得到a的值；
（2）由（1）知f（x）的解析式，可以得到f（x）是由u=e^x，和y=u+

1

u

復合而成的復合函數，利用復合函數單調性的判斷規則，即可得到f（x）在[0，+∞）上的單調性；
（3）根據（2）的結論，利用f（x）的單調性，求得f（x）的最小值，將f（x）＞lnm+1在[0，+∞）上恒成立，轉化為f（x）_min＞lnm+1，求解即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，對一切x∈R，有f（x）=f（-x），
又∵f（x）=

ex

a

+

a

ex

，
∴

ex

a

+

a

ex

=

1

aex

+ae^x對一切x∈R成立，
∴（a-

1

a

）（e^x-

1

ex

）=0對一切x∈R成立，
∴a-

1

a

=0，即a²=1，
又∵a＞0，
∴a=1；
（2）由（1）可知，f(x)=ex+

1

ex

，
令u=e^x，y=u+

1

u

，
∵u=e^x在[0，+∞）上為增函數，而y=u+

1

u

在[1，+∞） 上為增函數，
∴f(x)=ex+

1

ex

在[0，+∞）上為增函數；
（3）∵f(x)=ex+

1

ex

，
∴f（x）＞lnm+1在[0，+∞）上恒成立，即f（x）_min＞lnm+1，
由（2）可知，f(x)=ex+

1

ex

在[0，+∞）上為增函數，
∴f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（0）=2，
∴2＞lnm+1，
∴lnm＜1，
∴0＜m＜e，
故實數m的取值范圍為0＜m＜e．

點評：本題考查了函數奇偶性的定義，函數單調性的判斷與證明，函數的恒成立問題．對于函數的奇偶性要注意運用定義進行求解參數．注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．本題的單調性的判斷運用了復合函數的單調性的判斷規則，即“同增異減”．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題選用了參變量分離的方法轉化成函數求最值問題．屬于中檔題．