Question

直角三角形ABC中，∠C=90°，B、C在x軸上且關于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線E以B、C為焦點，且經過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若一過點P（3，0）的直線l與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且，問在x軸上是否存在定點G，使？若存在，求出所有這樣定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出雙曲線的方程，則可表示出B，C，D坐標，根據BD=3DC求得a和c的關系，進而利用雙曲線的定義以及三角形的周長建立方程組求得a，進而求得c和b，則雙曲線的方程可得．
（2）在x軸上存在定點G使題設成立，設出直線l的方程，根據求得x₁-t=λ（x₂-t），把直線方程代入橢圓方程消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而求得t，則定點G的坐標可求．
解答：解：（1）解：設雙曲線E的方程為，
則B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a
∴
解之得a=1，∴
∴雙曲線E的方程為．
（2）解：設在x軸上存在定點G（t，0），使．
當l⊥x軸時，由，顯然成立
當l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，即（3-x₁，y₁）=λ（x₂-3，y₂），即3-x₁=λ（x₂-3），即
∵，，
∴?x₁-t=λ（x₂-t），將代入得2x₁x₂-（3+t）（x₁+x₂）+6t=0①
將y=k（x-3）代入方程為整理得得：（3-k²）x²-6k²x-9k²-3=0
其中k²-3≠0且△＞0，即且
代入①，得：，化簡得：．
因此，在x軸上存在定點，使．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題，解決問題的能力．