Question

設A是單位圓x²+y²=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|（m＞0，且m≠1），當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。
（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；
（2）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖1，設M（x，y），A（x₀，y₀）
∵丨DM丨=m丨DA丨，
∴x=x₀，|y|=m|y₀|
∴x₀=x，|y₀|=|y|①
∵點A在圓上運動，
∴②
①代入②即得所求曲線C的方程為
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，
兩焦點坐標分別為（），
m＞1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，
兩焦點坐標分別為（），
（2）如圖2、3，∵x₁∈（0，1），
設P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則Q（x₂，y₂），N（0，y₁），
∵P，H兩點在橢圓C上，
∴
①-②可得③
∵Q，N，H三點共線，
∴k_QN=k_QH，
∴
∴k_PQ·k_PH=
∵PQ⊥PH，
∴k_PQ·k_PH=-1
∴
∵m＞0，
∴
故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意k＞0，都有PQ⊥PH。