Question

（2012•開封二模）甲乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區二模考試的數學成績情況，采用分層抽樣的方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績，并作出了頻數分布統計表如下，規定考試成績[120，150]內為優秀，

甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	2	3	10	15
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	15	10	y	3

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	1	2	9	8
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	10	10	y	3

（1）計算x，y的值；
（2）由以上統計數據填寫右面2×2列聯表，若按是否優秀來判斷，是否有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異．
（3）根據抽樣結果分別估計甲校和乙校的優秀率；若把頻率作為概率，現從乙校學生中任取3人，求優秀學生人數ξ的分布列和數學期望．

	甲校	乙校	總計
優秀
非優秀
總計

附：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2＞K）	0.10	0.025	0.010
K2	2.706	5.024	6.635

Answer 1

分析：（1）根據條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數，做出頻率分布表中的未知數；
（2）根據所給的條件寫出列聯表，根據列聯表做出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異；
（3）確定ξ的取值，求出相應的概率，可得分布列和數學期望．

解答：解：（1）由分層抽樣知，甲校抽取了105×

1100

2100

=55人成績，乙校抽取了105×

1100

2100

=50人成績
∴x=6，y=7；
（2）2×2列聯表如下：

	甲校	乙校	總計
優秀	10	20	30
非優秀	45	30	75
總計	55	50	105

∵K²=

105×(10×30-20×45)2

30×75×50×55

≈6.109＞5.024，
∴有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異；
（3）甲校優秀率為

2

11

，乙校優秀率為

2

5

ξ=0，1，2，3，ξ～B（3，

2

5

）
P（ξ=0）=

C

0 3

(

2

5

)0(1-

2

5

)3=

27

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

(

2

5

)1(1-

2

5

)2=

54

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

(

2

5

)2(1-

2

5

)1=

36

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

5

)3(1-

2

5

)0=

8

125

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

Eξ=3×

2

5

=

6

5

點評：本題主要考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于中檔題．