Question

【題目】已知函數f（x）=﹣alnx++x（a≠0）
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）））處的切線與直線x﹣2y=0垂直，求實數a的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a∈（﹣∞，0）時，記函數f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤﹣e﹣4 ．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知可知f（x）的定義域為{x|x＞0}
（x＞0）
根據題意可得，f′（1）=2×（﹣1）=﹣2
∴﹣a﹣2a2+1=﹣2
∴a=1或a=﹣
（II）∵=
①a＞0時，由f′（x）＞0可得x＞2a
由f′（x）＜0可得0＜x＜2a
∴f（x）在（2a，+∞）上單調遞增，在（0，2a）上單調遞減
②當a＜0時，
由f′（x）＞0可得x＞﹣a
由f′（x）＜0可得0＜x＜﹣a
∴f（x）在（﹣a，+∞）上單調遞增，在（0，﹣a）上單調遞減
（III）由（II）可知，當a∈（﹣∞，0）時，函數f（x）的最小值f（﹣a）
故g（a）=f（﹣a）=﹣aln（﹣a）﹣3a
則g′（a）=﹣ln（﹣a）﹣4
令g′（a）=0可得﹣ln（﹣a）﹣4=0
∴a=﹣e﹣4
當a變化時，g’（a），g（a）的變化情況如下表

∴a=﹣e﹣4是g（a）在（﹣∞，0）上的唯一的極大值，從而是g（a）的最大值點
當a＜0時，=﹣e﹣4
∴a＜0時，g（a）≤﹣e﹣4 ．
【解析】（I）先求f（x）的定義域為{x|x＞0}，先對已知函數進行求導，由f′（1）=﹣2可求a
（II）由=通過比較﹣a與2a的大小解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，從而可求函數的單調區間
（III）由（II）可知，當a∈（﹣∞，0）時，函數f（x）的最小值f（﹣a），結合已知可求a，然后結合已知單調性可求 ， 從而可證
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．