Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，點P從B點出發，在正方形BCC₁B₁的邊上按逆針方向按如下規律運動：設第n次運動的路程為a_n，且an=cos

nπ

2

+2，第n次運動后P點所在位置為P_n，回到B點后不再運動．
（1）求二面角P_i-AC-B的余弦值；
（2）是否存在正整數i、j，使得直線P_iP_j與平面ACD₁平行？若存在，找出所有符合條件的P_iP_j，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由an=cos

nπ

2

+2求得當n=1、2、3、4、5、6、7、8時的a_n的值，找出對應的P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的位置，然后根據P_i的不同位置求解二面角P_i-AC-B的余弦值；
（2）由線面平行的判定定理，分析P_i（i=1，2，3，4，5，6，7，8）的8個點中有哪些點的連線能夠與平面ACD₁內的線平行，找出與平面ACD₁內平行的線即可．

解答：解：（1）由an=cos

nπ

2

+2，知：a₁=a₅=2，a₂=a₆=1，a₃=a₇=2，a₄=a₈=3．
當i=1、2、8時，點P₁，P₂，P₈位于線段BC上，此時二面角P_i-AC-B的平面角為0°，所以，二面角的余弦值等于1；
當i=3、4時，P₃、P₄位于平面ACC₁上，此時二面角P_i-AC-B的大小為90°，所以，二面角的余弦值等于0；
然后以D為原點，分別以DA，DC，DD₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
當i=5或6時，點P₅，P₆位于線段C₁B₁上，此時P₅（2，4，4），P₆（3，4，4），A（4，0，0），C（0，4，0）
所以

AP5

=(-2，4，4)，

CP5

=(2，0，4)，

AP6

=(-1，4，4)，

CP6

=(3，0，4)，
設平面AP₅C的法向量為

a

=(x1，y1，z1)，平面AP₆C的法向量為

c

=(x2，y2，z2)，
由

a • AP5 =0 a • CP5 =0

⇒

-2x1+4y1+4z1=0 2x1+4z1=0

，取z₁=1，得x₁=-2，y₁=-2，
所以

a

=(-2，-2，1)
由

c • AP6 =0 c • CP6 =0

⇒

-x2+4y2+4z2=0 3x2+4z2=0

，取z₂=3，得x₂=-4，y₂=-4，
所以

c

=(-4，-4，3)，
由題意知平面ABC的一個法向量為

b

=(0，0，1)，
再設二面角P₅-AC-B=α，二面角P₆-AC-B=β，
所以cosα=

a • b

| a || b |

=

1

3

，cosβ=

b • c

| b || c |

=

3

41

=

3 41

41

當i=7時，P₇在線段BB₁上，取AC中點E，連接BE、P₇E，則∠P₇EB為二面角P₇-AC-B的平面角，
在直角三角形P₇BE中，BE=

1

2

BD=2

2

，P7B=

3

4

BB1=3，所以P7E=

17

，所以cos∠P7EB=

2 34

17

．
（2）存在正整數i=2，j=3；i=4，j=8；i=6，j=7使得直線P_iP_j與平面ACD₁平行，
∵P₂P₃，P₄P₈，P₆P₇均不在平面ACD₁內，且都平行于AD₁，而AD₁?面ACD₁，
根據線面平行的判定可得三條直線均平行于平面ACD₁．

點評：本題考查了二面角的平面角的求法，考查了平面與平面垂直的性質及直線與平面平行的判定，考查了分析問題的能力和運算能力，是中檔題．