Question

已知向量

a

=(2cosx，cos2x)，

b

=(sinx，1)，令f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ） 求 f （

π

4

）的值；
（Ⅱ）求x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，直接求 f （

π

4

）的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，然后求出x∈[-

π

2

，

π

2

]，范圍的f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=2cosxsinx+cos2x=sin2x+cos2x，（3分）
∴f(

π

4

)=sin

π

2

+cos

π

2

=1（3分）
（Ⅱ）f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，（3分）
當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）單增，（2分）
即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

，

π

8

]．（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力，常考題型．