Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1= ，AB=1，AD=2，E為BC的中點，點M為棱AA1的中點．

（1）證明：DE⊥平面A1AE；
（2）證明：BM∥平面A1ED．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△AED中，AE=DE= ，AD=2，

∴AE⊥DE．

∵A1A⊥平面ABCD，

∴A1A⊥DE，

∴DE⊥平面A1AE

（2）證明：設AD的中點為N，連接MN、BN．

在△A1AD中，AM=MA1，AN=ND，∴MN∥A1D，

∵BE∥ND且BE=ND，

∴四邊形BEDN是平行四邊形，

∴BN∥ED，

∴平面BMN∥平面A1ED，

∴BM∥平面A1ED．

【解析】（1）欲證DE⊥平面A1AE，根據線面垂直的判定定理可知只需證AE⊥DE，A1A⊥DE，即可；（2）設AD的中點為N，連接MN、BN，由線線平行推出面面平行，再由平面BMN∥平面A1ED，可推出BM∥平面A1ED．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．