Question

已知函數，，又函數在單調遞減，而在單調遞增．
（１）求的值；
（2）求的最小值，使對，有成立；
（３）是否存在正實數，使得在上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（１），（２）滿足條件的的最小值為52． （3）

(1)由題意知x=1是函數f(x)的極小值點，所以可根據求出a的值.
（2）分別求出f(x)和g(x)在區間[-2,2]上的最值，再求出f(x)-g(x)的取值范圍，進而求出|f(x)-g(x)|的最大值即可，那么M的最小值就等于|f(x)-g(x)|的最大值.
（１）由題意知是函數的一個極值點，即，∴，即，
此時，滿足條件，∴．………４分
（２）由得，或，列表可得， ，，，，∴當時，；…………………6分
又，∴當時，；………8分
因此，，∴；∴滿足條件的的最小值為52．…… 10分
（3）
則得；………12分
要使得存在正實數，使得在上既有最大值又有最小值，則必須，即，且滿足
，……………14分
得，即 ∴∴即為所求