Question

某校高二年級開設《幾何證明選講》及《坐標系與參數方程》兩個模塊的選修科目．每名學生可以選擇參加一門選修，參加兩門選修或不參加選修．已知有60%的學生參加過《幾何證明選講》的選修，有75%的學生參加過《坐標系與參數方程》的選修，假設每個人對選修科目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．
（Ⅰ）任選一名學生，求該生參加過模塊選修的概率；
（Ⅱ）任選3名學生，記ξ為3人中參加過模塊選修的人數，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）該生參加過模塊選修的對立事件是該生兩個模塊都沒選修，先求其概率，再利用一事件和它的對立事件概率和為求解．
（2）任選3名學生，記ξ為3人中參加過模塊選修的人數，得出其分布列，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
參加過《坐標系與參數方程》的選修為事件B，該生參加過模塊選修的概率為P，
則P=1-P(

.

A

•

.

B

)=1-(1-0.6)(1-0.75)=0.9
則該生參加過模塊選修的概率為0.9（6分）
（另：P=P(A•

.

B

)+P(

.

A

•B)+P(A•B)=0.6×0.25+0.4×0.75+0.6×0.75=0.9）
（Ⅱ）ξ可能取值0，1，2，3
P（ξ=0）=（1-0.9）³=0.001，
P（ξ=1）=C₃¹（1-0.9）²×0.9=0.027P
（ξ=2）=C₃²（1-0.9）×0.9²=0.243，
P（ξ=3）=0.9³=0.729（10分）
∴ξ的分布列為
∴Eξ=nP=3×0.9=2.7

點評：本題考查對立事件、獨立事件的概率、隨機變量的分布列、期望等知識，考查利用概率知識解決問題的能力．