Question

設x、y是兩個實數，給出下列五個條件：①x+y＞1；②x+y=2；③；x+y＞2；④x²+y²＞2；⑤xy＞1．其中能推出“x、y中至少有一個數大于1”的條件是

③

．

Answer 1

分析：此題用舉反例一一排除即可得答案．若x=

1

2

，y=

2

3

，則x+y＞1，但x＜1，y＜1，故①推不出；若x=y=1，則x+y=2，故②推不出；若x=-2，y=-3，則x²+y²＞2，故④推不出；若x=-2，y=-3，則xy＞1，故⑤推不出；利用反證法可證得③正確．

解答：解：若x=

1

2

，y=

2

3

，則x+y＞1，但x＜1，y＜1，故①錯；
若x=y=1，則x+y=2，故②錯；
若x=-2，y=-3，則x²+y²＞2，故④錯；
若x=-2，y=-3，則xy＞1，故⑤錯；
對于③即x+y＞2，則x，y中至少有一個大于1，正確．
反證法：假設x≤1且y≤1，
則x+y≤2與x+y＞2矛盾，
因此假設不成立，x，y中至少有一個大于1．
故答案為：③．

點評：本題考查不等關系與不等式、充要條件、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．