Question

設f(x)=

1+ax

1-ax

（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函數．
（1）求g（x）；
（2）當x∈[2，6]時，恒有g(x)＞loga

t

(x2-1)(7-x)

成立，求t的取值范圍；
（3）當0＜a≤

1

2

時，試比較f（1）+f（2）+…+f（n）與n+4的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求原函數的反函數，即從原函數式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數的解析式．
（2）先分離參數t，t＜（x-1）²（7-x）轉化為求右邊函數式的最小值即可，對于高次函數的最值問題，可利用導數研究解決；
（3）欲比較f（1）+f（2）+…+f（n）與n+4的大小，分而解決之，先比較f（k）與某一式子的大小關系，利用二項式定理可得：f（k）≤1+

2

C 1 k + C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，從而問題解決．

解答：解：（1）由題意得：a^x=

y-1

y+1

＞0
故g（x）=loga

x-1

x+1

，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；（3分）
（2）由loga

x-1

x+1

＞loga

t

(x2-1)(7-x)

得
①當a＞1時，

x-1

x+1

＞

t

(x2-1)(7-x)

＞0
又因為x∈[2，6]，所以0＜t＜（x-1）²（7-x）
令h（x）=（x-1）²（7-x）=-x³+9x²-15x+7，x∈[2，6]
則h'（x）=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表如下：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
h'（x）		+	0	-
h（x）	5	遞增	極大值32	遞減	25

所以h（x）_最小值=5，
所以0＜t＜5
②當0＜a＜1時，0＜

x-1

x+1

＜

t

(x2-1)(7-x)

又因為x∈[2，6]，所以t＞（x-1）²（7-x）＞0
令h（x）=（x-1）²（7-x）=-x³+9x²-15x+7，x∈[2，6]
由①知h（x）_最大值=32，x∈[2，6]
所以t＞32
綜上，當a＞1時，0＜t＜5；當0＜a＜1時，t＞32；（9分）
（3）設a=

1

1+p

，則p≥1
當n=1時，f（1）=1+

2

p

≤3＜5
當n≥2時
設k≥2，k∈N^*時
則f（k）=

1+ak

1-ak

=1+

2

(1+p)k-1

=1+

2

C 1 k p+ C 2 k p2+…+ C k k pk

所以f（k）≤1+

2

C 1 k + C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

從而f（2）+f（3）+…+f（n）≤n-1+

4

2

-

4

n+1

＜n+1
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜f（1）+n+1≤n+4
綜上，總有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜n+4．（14分）

點評：本小題考查函數、反函數、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查劃歸，分類整合等數學思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力．