Question

在平面直角坐標系xoy中，橢圓C為

x2

4

+y²=1
（1）若一直線與橢圓C交于兩不同點M、N，且線段MN恰以點（-1，

1

4

）為中點，求直線MN的方程；
（2）若過點A（1，0）的直線l（非x軸）與橢圓C相交于兩個不同點P、Q試問在x軸上是否存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ？若存在，求出點E的坐標及實數λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先判斷直線MN與橢圓必有公共點，再利用點差法得到中點坐標與直線斜率的關系式，即可求直線MN的方程；
（2）假定存在定點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值λ，可設直線l的方程代入橢圓方程，得到一元二次方程，進而利用向量的關系得到參數的值．

解答：解：（1）∵點（-1，

1

4

）在橢圓內部，∴直線MN與橢圓必有公共點
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知x₁≠x₂，則有

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
兩式相減，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
而x1+x2=-2，y1+y2=

1

2

，∴直線MN的斜率為1
∴直線MN的方程為4x-4y+5=0；
（2）假定存在定點E（m，0），

PE

•

QE

恒為定值λ
由于直線l不可能為x軸，于是可設直線l的方程為x=ky+1，且設點P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
將x=ky+1代入

x2

4

+y²=1得（k²+4）y²+2ky-3=0．
顯然△＞0，∴y₃+y₄=-

2k

k2+4

，y₃y₄=-

3

k2+4

∵

EP

=（x₃-m，y₃），

EQ

=（x₄-m，y₄），，
∴

PE

•

QE

=x₃x₄-m（x₃+x₄）+m²+y₃y₄=

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

若存在定點E（m，0），使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

=λ為定值（λ與k值無關），則必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

∴m=

17

8

，λ=

33

64

∴在x軸上存在定點E（

17

8

，0），使

PE

•

QE

恒為定值

33

64

．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系綜合運用，考查點差法，考查向量知識的運用，綜合性強．