Question

在ABC的邊AB，BC，CA上分別取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又點O是△ADF的外心。

（Ⅰ）證明：D，E，F，O四點共圓；
（Ⅱ）證明：O在∠DEF的平分線上．

Answer 1

（Ⅰ）由角間的關系可以證明 （Ⅱ）由角相等來證明

試題分析：（Ⅰ） 如圖，

∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．
因此∠A是銳角，
從而的外心與頂點A在DF的同側，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．
因此D，E，F，O四點共圓．              
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，
即O在∠DEF的平分線上．     
點評：本題主要考查了四點共圓，勾股定理，全等三角形的性質和判定，確定圓的條件等知識點，作輔助線構造全等三角形是解此題的關鍵.