Question

（10分）如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.

（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60º；

（2）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的m，⊥AP，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：（１）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

B₁(1,1,1),  D₁(0,0,2).

所以

又由的一個(gè)法向量.

設(shè)與所成的角為，

則=，解得.

故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成角為60º.    …………………………5分

（２）若在上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，

則.

依題意，對(duì)任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP. 等價(jià)于

即Q為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求.                 ………………………10分