Question

設虛數(shù)z滿足|2z+15|=

3

|

.

z

+10|．
（1）計算|z|的值；
（2）是否存在實數(shù)a，使

z

a

+

a

z

∈R？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設z=a+bi（a，b∈R且b≠0）則

.

z

=a-bi代入條件|2z+15|=

3

|

.

z

+10|然后根據(jù)復數(shù)的運算法則和模的概念將上式化簡可得

a2+b2

=5

3

即求出了|z|的值
（2）對于此種題型可假設存在實數(shù)a使

z

a

+

a

z

∈R根據(jù)復數(shù)的運算法則設（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得

z

a

+

a

z

=

c

a

+

ac

c2+ b2

+（

b

a

-

ab

c2+b2

）∈R即

b

a

-

ab

c2+b2

=0再結(jié)合b≠0和（1）的結(jié)論即可求解．

解答：解：（1）設z=a+bi（a，b∈R且b≠0）則

.

z

=a-bi
∵|2z+15|=

3

|

.

z

+10|
∴|（2a+15）+2bi|=

3

|（a+10）-bi|
∴

(2a+15)2+(2b)2

=

3

(a+10)2+(-b)2

∴a²+b²=75
∴

a2+b2

=5

3

∴|z|=5

3

（2）設z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假設存在實數(shù)a使

z

a

+

a

z

∈R
則有

z

a

+

a

z

=

c

a

+

ac

c2+ b2

+（

b

a

-

ab

c2+b2

）∈R
∴

b

a

-

ab

c2+b2

=0
∵b≠0
∴a=

+

.

c2+b2

由（1）知

c2+b2

=5

3

∴a=±5

3

點評：本題主要考查了求解復數(shù)的模．解題的關(guān)鍵是要熟記復數(shù)模的概念：z=a+bi（a，b∈R）則|z|=

a2+b2

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