Question

（本小題滿分14分）

已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設，，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）動點的軌跡的方程．

（2）當時，的最大值為．

【解析】求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一 求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法．本題是利用的直接法．直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．

（1）設，則，將向量的關系式轉化為坐標關系式可知結論。

∵，

∴

（2）設圓的圓心坐標為，則

圓的半徑為．

圓的方程為，令y=0,整理得到,然后設點表示長度得到結論。

（1）解：設，則，

∵，

∴． --------------------2分

即，即，

所以動點的軌跡的方程． --------------------4分

（2）解：設圓的圓心坐標為，則．           ①

圓的半徑為．

圓的方程為．

令，則，

整理得，．                             ②

由①、②解得，． --------------------6分

不妨設，，

∴，．--------------------8分

∴ 

        ，                     ③

 當時，由③得，．

當且僅當時，等號成立．--------------------12分

當時，由③得，． --------------------13分

故當時，的最大值為． --------------------14分