Question

設，．
（1）令，討論在內的單調性并求極值；
（2）求證：當時，恒有．

Answer 1

(1) 在內是減函數，在內是增函數, 在處取得極小值 ;(2)詳見解析.

試題分析：（1）先根據求導法求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間及極值即可．
（2）欲證x＞ln²x-2a ln x+1，即證x-1-ln²x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據第一問的單調性即可證得.
試題解析：解（1）解：根據求導法則有，
故，         3分
于是，
列表如下：

		2
		0
	遞減	極小值	遞增

故知在內是減函數，在內是增函數，所以，在處取得極小值． 6
（2）證明：由知，的極小值．
于是由上表知，對一切，恒有．
從而當時，恒有，故在內單調增加．
所以當時，，即．
故當時，恒有．    .12