Question

已知點P在曲線C：y=（x＞1）上，設曲線C在點P處的切線為l，若l與函數y=kx（k＞0）的圖象的交點為A，與x軸的交點為B，設點P的橫坐標為t，A、B的橫坐標分別為x_A、x_B，記f（t）=x_A•x_B．
（Ⅰ）求f（t）的解析式；
（Ⅱ）設數列{a_n}（n≥1，n∈N）滿足a₁=1，a_n=（n≥2），數列{b_n}滿足b_n=，求a_n與b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當1＜k＜3時，證明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出曲線C在點P處的切線為l的方程，求出點B的坐標，聯立切線方程與方程y=kx求出點A的坐標，代入f（t）=x_A•x_B．就可求得f（t）的解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論求出數列{a_n}的遞推關系，再利用b_n=求出數列{b_n}的遞推關系，根據k的取值分別求出a_n與b_n即可．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論求出數列{a_n-}的表達式，再對其用放縮法求和，即可證明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，又點P的坐標為，
曲線C在點P處的切線的斜率為，則切線l的方程為，
令y=0，得x_B=2t；由得，
∴故（3分）
（Ⅱ）由已知，n≥2時，，得，
∴；
①當k=3時，b₁=0，數列{b_n}是以0為首項的常數列，則b_n=0，從而a_n=1；（5分）
②當k≠3時，，數列{b_n}為等比數列，b_n=，
從而
綜上，，b_n=（8分）
（Ⅲ）
∵1＜k＜3，∴
∴，（10分）
∴
=，
∴，（12分）
又∵，
∴，∴，即所證不等式成立．（14分）
點評：本題涉及到用放縮法來證明不等式．當函數與數列，不等式合在一起出題時，多會涉及到用放縮法來證明不等式．在放縮時，放縮的度要把握好．