Question

（2012•順義區二模）已知函數f（x）=（a-1）x²+2lnx，g（x）=2ax，其中a＞1
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設函數h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定切線的斜率，求出切點的坐標，即可求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數，利用導數的正負，可得函數h（x）的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=（a-1）x²+2lnx，
∴f′(x)=2(a-1)x+

2

x

∴f′（1）=2a
∵f（1）=a-1
∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-（a-1）=2a（x-1），即y=2ax-a-1；
（Ⅱ）設函數h（x）=f（x）-g（x），則h′(x)=2(a-1)x+

2

x

+2a=

2(x+1)[(a-1)x-1]

x

（x＞0）
令h′（x）＞0，可得x＜-1或x＞

1

a-1

；令h′（x）＜0，可得-1＜x＜

1

a-1

，
∴函數h（x）的單調增區間是（-∞，-1），（

1

a-1

，+∞）；單調減區間是（-1，

1

a-1

）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，正確求導是關鍵．