Question

已知a＞0，函數f(x)=|

x-a

x+3a

|．
（Ⅰ）記f（x）在區間[0，9]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式；
（Ⅱ）是否存在a，使函數y=f（x）在區間（0，9）內的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，分類討論，結合導數確定函數的單調性，從而可得g（a）的表達式；
（Ⅱ）利用曲線y=f（x）在兩點處的切線互相垂直，建立方程，從而可轉化為集合的運算，即可求得結論．

解答：解：（I）當0≤x≤a時，f（x）=

a-x

x+3a

；
當x＞a時，f（x）=

x-a

x+3a

，
∴當0≤x≤a時，f′（x）=

-4a

(x+3a)2

＜0，f（x）在（0，a）上單調遞減；
當x＞a時，f′（x）=

4a

(x+3a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上單調遞增．
①若a≥9，則f（x）在（0，9）上單調遞減，g（a）=f（0）=

1

3

，
②若0＜a＜9，則f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，9）上單調遞增，
∴g（a）=max{f（0），f（9）}，
∵f（0）-f（9）=

1

3

-

9-a

9+3a

=

2a-6

9+3a

，
∴當0＜a≤3時，g（a）=f（9）=

9-a

9+3a

，
當1＜a＜4時，g（a）=f（0）=

1

3

，
綜上所述，g（a）=

9-a 9+3a ，0＜a≤3 1 3 ，a＞3

；
（Ⅱ）由（I）知，當a≥9時，f（x）在（0，9）上單調遞減，故不滿足要求；
當0＜a＜9時，f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，9）上單調遞增，
若存在x₁，x₂∈（0，9）（x₁＜x₂），使曲線y=f（x）在兩點處的切線互相垂直，
則x₁∈（0，a），x₂∈（a，9），
且f′（x₁）f′（x₂）=-1
∴

-4a

(x1+3a)2

•

4a

(x2+3a)2

=-1，
∴x₁+3a=

4a

x2+3a

①
∵x₁∈（0，a），x₂∈（a，9），
∴x₁+3a∈（3a，4a），

4a

x2+3a

∈（

4a

9+3a

，1）
∴①成立等價于A=（3a，4a）與B=（

4a

9+3a

，1）的交集非空，
∵

4a

9+3a

＜4a，∴當且僅當0＜3a＜1，即0＜a＜

1

3

時，A∩B≠∅
綜上所述，存在a使函數y=f（x）在區間（0，9）內的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，且a的取值范圍是（0，

1

3

）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，同時考查了運算求解的能力，正確分類是關鍵．屬于難題．