Question

【題目】已知函數（）.其中常數是自然對數的底數.

（1）若，求在上的極大值點；

（2）（i）證明在上單調遞增；

（ii）求關于x的方程在上的實數解的個數.

Answer 1

【答案】（1）極大值點為（2）（i）證明見解析；（ii）實數解的個數為2

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，求出函數的極值點即可；

（2）只需證明，問題轉化為只需證明，令，，，結合函數的單調性證明即可；

求出，再證明函數的最大值；令函數，，先求函數在上的零點個數，再求函數在上的零點的個數，從而求出方程解的個數．

解：（1）易知，

若，則，所以可得下表：

x
	＋	0	－
	↗	極大值	↘

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減

∴函數的極大值點為.

（2）（i）∵，∴在上必存在唯一實數，使得，

∴易知函數在上單調遞增，在上單調遞減，

欲證明在上單調遞增，只需證明：，

∵，∴，故只需證明，

令，，則，

∴函數在上單調遞減，

∴當時，，

∴，即，亦即.

∴函數在上單調遞增.

（ii）先證明當時，有，

令，，則，，

∴函數在上單調遞增，

∴當時，，即，

再證明函數的最大值，

顯然，∴，，

∵，∴，

下證，令，則，

即證（），即證（），

令，則，∴函數為單調遞增函數，

∴當時，，∴（），

∴，

令函數，，

先求函數在上的零點個數，

∵，，且函數在上單調遞減

∴函數在上有唯一零點，即函數在上的零點個數為1：

再求函數在上的零點個數，

∵，，且函數在上單調遞增，

∴①當時，，即，故函數在上沒有零點，

即函數在上的零點個數為0；

②當時，，即，故函數在上有唯一零點，

即函數在上的零點個數為1：

綜上所述，當時，函數的零點個數為1：

當時，函數的零點個數為2，

∴當時，關于x的方程在上的實數解的個數為1：

當時，關于x的方程在上的實數解的個數為2.