Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求異面直線PA與CD所成的角；
（2）求證：PC‖平面EBD；
（3）求二面角A-BE-D的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）一點B為坐標原點，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標至B-xyz，根據條件求出

CD

和

PD

，然后求出這兩個向量的所成角即為異面直線CD與PA所成的角；
（2）欲證PC∥平面EBD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PC與平面EBD內一直線平行連接AC交BD于G，連接EG，根據比例關系可知PC∥EG，而EG?平面EBD，PC?平面EBD，滿足定理所需條件；
（3）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標至B-xyz．設BC=a，則
A（3，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），
C（0，a，0）

CD

=（3，3-a，0）

PD

=（3，3，-3）
∵CD⊥PD∴

CD

•

PD

=0
∴a=6
∴

CD

=（3，-3，0）

PA

=（3，0，-3）cos＜

PA

•

CD

＞=

CD • PA

| CD |•| PA |

=

9

3 2 •3 2

=

1

2

，
因此異面直線CD與PA所成的角為60°（4分）
（2）連接AC交BD于G，連接EG．∵

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，又∵

AE

EP

=

1

2

，∴

AG

GC

=

AE

EP

∴PC∥EG又∵EG?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD（8分）
（3）設平面EBD的法向量為

n

=（x，y，1），因為

BE

=（2，0，1），

BD

=（3，3，0）
由

n • BE =0 n • BD =0

得

2x+1=0 3x+3y=0

∴x=-

1

2

，y=

1

2

∴

n

=(-

1

2

，

1

2

，1)又因為平面ABE的法向量為

m

=（0，1，0），
∴所以，cos（

n

，

m

）=

6

6

．即二面角A-BE-D的大小的余弦值為

6

6

（12分）

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．