Question

已知f （x）是R上的偶函數，且在（0，+∞）上單調遞增，并且f （x）＜0對一切x∈R成立，試判斷-

1

f(x)

在（-∞，0）上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：由題意，可先設x₁＜x₂＜0，得到-x₁＞-x₂＞0，再由函數在（0，+∞）上單調遞增及偶函數的性質即可得到-

1

f(x)

在（-∞，0）上的單調性

解答：解：-

1

f(x)

是（-∞，0）上的單調遞減函數，證明如下：
設x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵f（x）為偶函數，
∴f（x₁）＞f（x₂）
又-

1

f(x)

-[-

1

f(x2)

]=

1

f(x2)

-

1

f(x1)

=

f(x1)-f(x2)

f(x2)f(x1)

＞0
（∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0）
∴-

1

f(x1)

＞-

1

f(x2)

，
∴-

1

f(x)

是（-∞，0）上的單調遞減函數．

點評：本題考查定義法證明函數的單調性及偶函數的性質，靈活利用性質判斷出函數值的大小是解答的關鍵，本題屬于抽象函數單調性的證明，此類題有一定的難度，作答時注意函數值間接判斷的方法