Question

【題目】已知A、F分別是橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左頂點、右焦點，點P為橢圓C上一動點，當PF⊥x軸時，AF=2PF．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C存在點Q，使得四邊形AOPQ是平行四邊形（點P在第一象限），求直線AP與OQ的斜率之積；
（3）記圓O：x2+y2= 為橢圓C的“關聯圓”．若b= ，過點P作橢圓C的“關聯圓”的兩條切線，切點為M、N，直線MN的橫、縱截距分別為m、n，求證： + 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由PF⊥x軸，知xP=c，代入橢圓C的方程，

得： + =1，解得 ，

又AF=2PF，∴a+c= ，

∴a2+ac=2b2，即a2﹣2c2﹣ac=0，

∴2e2+e﹣1=0，

由e＞0解得橢圓C的離心率e= ．

（2）

解：∵四邊形AOPQ是平行四邊形，∴PQ=a，且PF∥x軸，

∴ ，代入橢圓C的方程，解得 ，

∵點P在第一象限，∴yp= b，

同理可得xQ=﹣ ，yQ= b，

∴kAPkOQ= =﹣ ，

由（1）知e= ，得 = ，∴kAPkOQ=﹣ ．

（3）

證明：由（1）知e= = ，又b= ，解得a=2，

∴橢圓C的方程為 =1，

圓O的方程為x2+y2= ，①…

連接OM，ON，由題意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，

∴四邊形OMPN的外接圓是以OP 為直徑的圓，

設P（x0，y0），則四邊形OMPN的外接圓方程為（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= （ ），

即 =0，②…

①﹣②，得直線MN的方程為xx0+yy0= ，

令y=0，則m= ，令x=0，則n= ．

∴ + =49（ ），

∵點P在橢圓C上，∴ + =1，

∴ =49（為定值）．…

【解析】（1）由PF⊥x軸，知xP=c，代入橢圓C的方程，得 ，由此能求出橢圓C的離心率．（2）由四邊形AOPQ是平行四邊形，知PQ=a，且PF∥x軸，從而yp= b，yQ= b，由此能求出kAPkOQ ． （3）由（1）知e= = ，又b= ，從而橢圓C的方程為 =1，圓O的方程為x2+y2= ，連接OM，ON，由題意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，從而四邊形OMPN的外接圓是以OP 為直徑的圓，由此能證明 為定值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．