Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

(1)求異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁與平面ABA₁夾角的正弦值．

Answer 1

(1)；(2)

解析試題分析：因?yàn)橹本�AB、AC、兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
（1）向量分別為直線A₁B與C₁D的方向向量，求出的坐標(biāo)，由空間兩向量夾角公式可得向量夾角的余弦值；
（2）設(shè)平面的法向量為，
又，根據(jù)法向量定義求出平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/78/8/1zh7f2.png" style="vertical-align:middle;" />平面，取平面的一個(gè)法向量為，先求出與夾角的余弦值，又平面ADC₁與平面ABA₁夾角與與夾角相等或互補(bǔ)。

試題解析：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，
，
異面直線與所成角的余弦值為。
（2）設(shè)平面的法向量為，
，
，即且，
令，則，是平面的一個(gè)法向量，
取平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面夾角的大小為，由，
得，故平面與平面夾角的正弦值為。
考點(diǎn)：（1）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（2）直線方向向量、平面法向量的求法；（3）利用空間向量求線面角、面面角；