Question

（本小題滿分12分）
如圖，在六面體ABC-DEFG中，平面∥平面，⊥平面，,,∥．且,．

（1）求證：∥平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）略（2）

則，
令，則，
而平面ADGC的法向量
      ∴＝
故二面角D-CG-F的余弦值為．……………………12分
解法二設DG的中點為M，連接AM、FM，
則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，
所以MF//DE，且MF＝DE
又∵AB//DE，且AB＝DE  ∴MF//AB，且MF＝AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF//AM，
又BF平面ACGD
故 BF//平面ACGD……………6分
（利用面面平行的性質定理證明，可參照給分）
（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG
即DE⊥面ADGC ，
∵MF//DE，且MF＝DE ， ∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則
顯然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四邊形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1
∴，∴MN＝
在直角三角形MNF中，MF＝2，MN
∴＝＝＝，＝
故二面角D-CG-F的余弦值為 ……………………12分