Question

已知函數f（x）=x+

1

x

，若關于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+2m=0有四個不同的實數根，則實數m的取值范圍是多少？

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：令t=f（x）=x+

1

x

，則 t≥2，或t≤-2，關于t的一元二次方程t²-（m+1）t+2m=0有兩個實數根，且這2個實數根大于2或小于-2．令f（t）=t²-（m+1）t+2m，再分①若這兩個根都大于2，②若這兩個根都小于-2，若這兩個根一個大于2，另一個小于-2，三種情況，分別求得m的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵關于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+2m=0
有4個不同的實數根，
令t=f（x）=x+

1

x

，則 t≥2，或t≤-2，
故關于t的一元二次方程t²-（m+1）t+2m=0有兩個實數根，且這2個實數根大于2或小于-2．
令f（t）=t²-（m+1）t+2m，
①若這兩個根都大于2，
則由

△=(m+1)2-8m＞0 m+1 2 ＞2 f(2)=2＞0

，求得 m＞2+

3

．
②若這兩個根都小于-2，
則由

△=(m+1)2-8m＞0 m+1 2 ＜-2 f(-2)=4m+6＞0

，求得 m∈∅．
③若這兩個根一個大于2，另一個小于-2，則由

f(-2)=4m+6＜0 f(2)=2＜0

，可得m∈∅．
綜上可得，m的范圍為（2+

3

，+∞）．

點評：本題主要考查方程根的個數判斷，體現了轉化、分類討論、數形結合的數學思想，屬于中檔題．