Question

（本小題滿分12分）
已知函數f （x）＝ln（1＋x）＋a （x＋1）²（a為常數）．
（Ⅰ）若函數f （x）在x＝1處有極值，判斷該極值是極大值還是極小值；
（Ⅱ）對滿足條件a≤的任意一個a，方程f （x）＝0在區間（0，3）內實數根的個數是多少？

Answer 1

（１）極大值；（２）２

（Ⅰ）f＇（x）＝

                                            …………2分


—1<x<1時，f＇（x）>0；x>1時，f＇（x）<0，
∴f（x）在（—1，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數
所以f（1）為函數f（x）的極大值                                         …………4分
（Ⅱ）

              …………5分



+∞）是為減函數
因此f（x）在x＝—1+處取得區間（—1，+∞）上的最大值                   ——6分
由f（—1+）＝0得a＝—                                       …………7分
（1）當a<時，f（—1+
所以方程f（x）＝0在區間（0，3）內無實數根                     …………8分
（2）當a＝時，f（—1+
所以方程f（x）＝0在區間（0，3）內有且僅有1個實數根
—1+…………9分
（3）當a≤時，≤1，
又f（0）a<0，f（—1+
f（3）＝ln4＋16a≤ln4－2<0，
所以方程f（x）＝0在區間（0，3）內有2個實數根．              …………11分
綜上所述，
當a＜時，方程f（x）＝0在區間（0，3）內無實數根；
當a時，方程f（x）＝0在區間（0，3）內有1個實數根；
當≤時，方程f（x）＝0 在區間（0，3），內有2個實數根．
…………12分