Question

已知函數y＝f(x)是定義在R上的奇函數，且當x∈(-∞，0)時不等式f(x)+xf′(x)＜0成立，若a＝3^0.3f(3^0.3)，b＝(log_π3)f(log_π3)，c＝f，則a，b，c的大小關系是(　　)

1. A.
   a＞b＞c
2. B.
   c＞b＞a
3. C.
   c＞a＞b
4. D.
   a＞c＞b

Answer 1

C
考點：函數奇偶性的性質；簡單復合函數的導數；函數的單調性與導數的關系．
分析：由已知式子（x）+xf′（x），可以聯想到：（uv）′=u′v+uv′，從而可設h（x）=xf（x），
有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的單調性問題很容易解決．
解：構造函數h（x）=xf（x），
由函數y=f（x）以及函數y=x是R上的奇函數可得h（x）=xf（x）是R上的偶函數，
又當x∈（-∞，0）時h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
所以函數h（x）在x∈（-∞，0）時的單調性為單調遞減函數；
所以h（x）在x∈（0，+∞）時的單調性為單調遞增函數．
又因為函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0，從而h（0）=0
因為log₃=-2，所以f（log₃）=f（-2）=-f（2），
由0＜log_π3＜1＜3^0.3＜3^0.5＜2
所以h（log_π3）＜h（3^0.3）＜h（2）=f（log₃），即：b＜a＜c
故選B．