Question

（1）選修4-4：矩陣與變換
已知曲線C₁：y=繞原點逆時針旋轉45°后可得到曲線C₂：y²-x²=2，
（I）求由曲線C₁變換到曲線C₂對應的矩陣M₁；    
（II）若矩陣，求曲線C₁依次經過矩陣M₁，M₂對應的變換T₁，T₂變換后得到的曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，在曲線C：（θ為參數）上求一點，使它到直線l的距離最小，并求出該點坐標和最小距離．
（3）（選修4-5：不等式選講）
將12cm長的細鐵線截成三條長度分別為a、b、c的線段，
（I）求以a、b、c為長、寬、高的長方體的體積的最大值；
（II）若這三條線段分別圍成三個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（I）因為把曲線C₁逆時針旋轉θ角，得到曲線C₂，則旋轉變換矩陣為．
（II）先求出依次經過矩陣M₁，M₂對應的變換T₁，T₂對應的矩陣，再設曲線C1上任一點經過變換后的對應點坐標，用變換后的坐標表示變換前的坐標，再代入變換前曲線滿足的方程，化簡即得變換后的曲線方程．
（2）先由直線l的極坐標方程求出直角坐標方程，設出曲線C上任意一點P坐標，用點到直線的距離公式求出點P到直線l的距離，再借助基本正弦函數的最值求出點P到直線l的最小距離．
（3）（I）因為長方體的體積為abc，而a+b+c=12，應用不等式，就可求出體積的最大值．
（II）先把三個正三角形的面積和用S=表示，因為l+m+n=4，而（l²+m²+n²）（1²+1²+1²）≥（l+m+n）²，所以只需讓S乘3再除3即可變形成公式的形式，求出最值．
解答：解：（1）（I）∵曲線C₁：y=繞原點逆時針旋轉45°后得到曲線C₂：y²-x²=2，∴旋轉變換矩陣=；
（II）設依次經過矩陣M₁，M₂對應的變換T₁，T₂對應的矩陣
任取曲線C₁：y=上的一點P（x，y），它在變換T_M作用下變成點P′（x′，y′），則有，即，∴
又因為點P在C₁：y=上，得到=1即=1．
（2）∵直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0，∴直角坐標方程是x+y-1=0
設所求的點為P（-1+cosθ，sinθ），則P到直線l的距離d=|
當θ+，k∈Z時，即θ=2kπ+，k∈Z，d的最小值為-1
（3）（I）由已知得，a+b+c=12，∴=64；
當且僅當a=b=c=4時，等號成立．
（II）設三個正三角形的邊長分別為l，m，n，則l+m+n=4
∴這三個正三角形面積和為S=
∴3S=≥
∴S≥
當且僅當a=b=c=1時，等號成立．
點評：本題（1）主要考查了曲線的旋轉變換矩陣的求法以及根據旋轉變換求曲線方程，（2）考查了極坐標方程與直角坐標方程的互換，（3）考查了均值不等式和柯西不等式的應用．