Question

已知n∈N^*，函數f (x)=x³-nx²+(2ⁿ+1)，x∈R．

   （I）當n=1時，求f(x)的單調區間；

   （II）設函數f(x)在[-1，1]上的最大值為a_n，記b_n=，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n<．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=1時，f(x)=x³-x²+3.

所以=3x²-2x=3x(x -)

由>0,得x<0,或x>.

由<0,得x<O，0<x<

所以f(x)的單調遞增區間是(一∞，0)和(,+∞),單調遞減區間是(0,). 5分

   （II）因為=3x(x -),且≥

所以當x在R上變化時，與f(x)的變化情況如下表：

而f(0)=2ⁿ+1, f(1)=2ⁿ+2-n,

又n≥1，所以f(0)≥f(1)．

當x∈[-1，1]時，f(x)_max= f(0)=2ⁿ+1，即a_n=2ⁿ+1．

所以b_n=

      =

             =.

所以T_n=++…+

      =-<